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Die Frage steht ja schon im Titel:
Wenn ich z.B. ein Ticket bei Air NZ kaufe für eine Reise, deren erster Teil auf LH-Metall nach SIN geht, kann ich dann diesen ersten Abschnitt mit e-Vouchern upgraden?
Ja, kannst Du - solange der LH-Flug auch unter LH-Flugnummer gebucht ist.
Solltest Du unter einer Codeshare-Flugnummer gebucht sein, geht das Upgrade nur am Abflugtag am Airport.