Ich kann dir da das AC Carlton Madrid empfehlen. Da übernachte ich immer wenn ich in Madrid gute Verkehrsanbindung aber keinen grossen Luxus brauche. Preislich meist in deinem Range. Lage ist top, nahe am Bahnhof Atocha, dort hast du S-Bahn, Metro und den Renfe - Bahnhof. Sofia Reina in 5'; Retiro-Park, Prado, Thyssen-Bornemisza und Cibeles zu Fuss in 10-15' zu erreichen. Zu den anderen Hauptattraktionen für zwei Tage bringt dich die Metro-Linie 1, z.B. über Sol. Ausserdem hat es einen kleinen Supermarkt ganz in der Nähe.
Die Reception ist durchgehend besetzt, wenn die Drehtür spät nachts geschlossen ist einfach die Klingel rechts neben der Tür drücken und es kommt gleich jemand.
Vom T4, wo LA meines Wissens ankommt, kannst du die S-Bahn (Cercanias) nehmen, Station unten im Terminal. Wegen Bauarbeiten kommst du aktuell aber nicht ohne Umsteigen in Chammartin nach Atocha. Fährt bis Mitternacht, sollte also im Normalfall gut reichen. Ansonsten Metro mit 2x umsteigen oder Taxi Fixpreis 30€; Cabify und Uber meist etwas günstiger. Ausserdem gäbe es noch einen Bus vom Flughafen nach Atocha, habe ich aber noch nie probiert.
Restauranttip falls du Rindviecher magst: El Rincón Asturiano unweit vom Hotel, dort das Chuletón lomo alto bestellen und auf den eigenen Holzkohlegrill beharren. Nicht ganz billig aber so was von lecker.