CIA ist näher an die Stadt als FCO, aber bei einem Aufenthalt von einer Woche würde ich einfach bequemere bzw. günstigere Flüge wählen. 40 Minuten mehr Transferzeit für hin- und zurück machen da wenig aus.
FCO hat bessere Lounges, falls es wichtig ist.
Mein erstes Mal in Rom war auf einem Ausflug mit der Firma, wir haben am Ponte Sisto in der "Altstadt" (centro storico) gewohnt (das Hotel hieß auch so). Die Frage ist halt, wollt ihr alles zu Fuß bzw. mit dem e-Scooter erkunden, oder viel das ÖPNV nutzen (davon gibt's im historischen Zentrum nicht viel). Und natürlich ist auch eine Frage, ob der Preis eine Rolle spielt

Ich persönlich bin sehr gerne mit dem Scooter und zu Fuß unterwegs, deshalb ist das historische Zentrum für mich die 1. Wahl, wenn ich es mir leisten kann
Der Deutsche Friedhof im Vatikan wurde schon genannt, ich schließe mich der Empfehlung an. Kann auch Domus Aurea empfehlen - heute unter der Erde liegende Prachträume. Tickets dafür muss man weit im Voraus im Internet buchen.
Eine Woche in Rom ist viel. Wenn ihr auf historisches steht, würde ich einen Tagesausflug über Neapel nach Pompeii in Betracht ziehen (Öffnungszeiten beachten!). Als eine "normale" antike Stadt bietet Pompeii einen tollen Kontrast zum pompösen Rom.